쎈 미적분 950번 다른 풀이 시도 (5등급 수학) > 고등 공부

-쎈 미적분 - P.139 - Q.950

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보통이라면 주어진 식(준식)을 미분하고, 극대극소 찾기 시도, 변곡점 찾기로 접근하겠지만

그래프를 그릴 줄 알면 2,3,4를 판단할 수 있고 상식으로1번까지 파악할 수 있다.

그래프 그리기가 익숙해지면 빠르게 개형을 알 수 있다.

두 개 정도의 함수를 물을 때 쓰기 유용하다. x를 0+-, 무한대로 보냈을 때의 두 함수의 모한대로 가는 속도를 비교하여 더 큰것 을 점근선으로 보고 그 점근선에 다가가도록 하면 된다.

참고로 점근선은 직선(수평선, 수직선), 사선 뿐만아니라 곡선도 가능하다. 시간 나면 내가 배우고 정리한 점근선에 대해 다뤄보겠다.

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이러한 곡선을 구하고 보자.

1. 함수 f(x)의 극값은 존재하지 않는다.

-> 눈으로 미분 해보면 바로 -(1/x^2)e^(1/x) -1 (마이너스. x 제곱 분의 1. 곱하기 e의. x분의 1승. 빼기 1)인 것을 알 수 있고 분모인 x가 0이 될 수 없기에 극값이 존재하지 않는다는 것을 바로 알 수 있다.

2. 함수 f(x)의 치역은 실수 전체의 집합이다.

-> 그린 그래프에서 알 수 있듯 f(x)의 치역은 음의 무한대로도, 양의 무한대로도 발산하기에 맞다.

3. 0이 아닌 임의의 두 실수 x1,x2에 대하여 x1 < x2이면 f(x1) > f(x2)이다.

-> 그린 그래프에서 바로 확인해보자.

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따라서 3번이 틀렸음을 알 수 있다.

4. y=f(x)의 그래프는 x>0에서 아래로 볼록하다

1번에서 구했던 식을 한 번 더 빠르게 미분해주면(e^(1/x))(2x+1)/x^4이 나오기에 x>0에서 항상 양수로, f''(x) >0여서 아래로 볼록이다.

5. y=f(x)의 그래프의 변곡점의 좌표를 (a,b)라 하면, a+b = 1/e^2 이다.

4번에서 미분했던 (e^(1/x))(2x+1)/x^4에서 f''(x)가 0이 될 수 있는 것은 x=-1/2 뿐이기에 (x=/ 0) 변곡점의 좌표는 (-1/2, f(-1/2)), f(-1/2) = e^(-2) +1/2 -> 변곡점의 좌표: (-1/2, e^(-2) +1/2),

둘을 더해주면 -1/2 + e^(-2) + 1/2 = e^(-2) = 1/e^2이므로 참이다.